Στα μαθηματικά, θεώρημα λέγεται μια δήλωση που αποδεικνύεται ως αληθινή μέσα από μια διαδικασία λογικής επιχειρηματολογίας, η οποία βασίζεται σε παραδοχές ή προηγούμενα αποδειγμένες δηλώσεις. Κάποια θεωρήματα των μαθηματικών έχουν πάρει το όνομά τους από το άτομο που το απέδειξε για πρώτη φορά, π.χ. το «θεώρημα Ντεσάργκ», ενώ άλλα από το περιεχόμενό τους, π.χ. το «θεώρημα της μέσης τιμής». Κάποια θεωρήματα έχουν ονοματιστεί  από το άτομο που τα διατύπωσε ως εικασίες, χωρίς να τα αποδείξει, π.χ. το «τελευταίο θεώρημα του Φερμά». Τέλος, κάποια θεωρήματα έχουν συνδεθεί με ένα άτομο που ούτε τα διατύπωσε ούτε τα απέδειξε και τέτοια περίπτωση αποτελεί το πιο διάσημο ίσως θεώρημα των μαθηματικών, το «Πυθαγόρειο Θεώρημα».

Το θεώρημα αυτό ορίζει ότι «σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας πλευράς του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του» και έχει ιστορικά αποδοθεί στον Πυθαγόρα, ο οποίος με βάση όλα τα διαθέσιμα ιστορικά στοιχεία, ούτε το διατύπωσε, ούτε το απέδειξε. Η μαθηματική αυτή αλήθεια ήταν γνωστή πολλά χρόνια πριν τον Πυθαγόρα και η απόδειξη της διατυπώθηκε πολλά χρόνια αργότερα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.  

Ο Πυθαγόρας είναι ένα από τα πιο γνωστά ονόματα στην ιστορία της φιλοσοφίας και των μαθηματικών και συγχρόνως είναι ένα μυστηριώδες και αμφιλεγόμενο πρόσωπο, για το οποίο υπάρχουν ελάχιστες ιστορικά τεκμηριωμένες πληροφορίες. Ότι ξέρουμε για τη ζωή και το έργο του είναι μάλλον μυθιστορίες παρά γεγονότα, αφού προέρχονται από βιογραφίες του Πυθαγόρα που γράφηκαν αιώνες μετά την εποχή του, οι οποίες αντιμετωπίζουν τον Πυθαγόρα ως πρόσωπο με θεϊκές δυνάμεις και του αποδίδουν φιλοσοφικές ιδέες και επιστημονικές γνώσεις, οι οποίες στην πραγματικότητα οφείλονται στον Πλάτωνα ή στον Αριστοτέλη. Ακόμα και η εικόνα του, η οποία απεικονίζεται σε πολλά βιβλία, είναι προϊόν φαντασίας, αφού δεν διασώζεται κανένα ίχνος της μορφής του, γλυπτό ή ζωγραφικό, από την αρχαιότητα, όπως και δεν διασώζεται κανένα κείμενο γραμμένο από τον ίδιο ή άλλους συγχρόνους του συγγραφείς. Υπάρχουν, όμως, και αναφορές στον Πυθαγόρα, οι οποίες αμφισβητούν τη φήμη του ως σοφο,ύ θεωρώντας τον θρησκευτικό ηγέτη ή ακόμα και τσαρλατάνο παρά φιλόσοφο ή επιστήμονα (Ηράκλειτος, Ισοκράτης, Ξενοφάνης).

Οι ιστορικοί πιθανολογούν ότι γεννήθηκε περίπου το 580 π.Χ. στη Σάμο και αφού ταξίδεψε για μεγάλα χρονικά διαστήματα στην Αίγυπτο και στην Περσία, εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, όπου και δίδαξε μέχρι το θάνατο του περίπου το 500 π.Χ.. Γύρω του δημιουργήθηκε ένας κύκλος μαθητών και θαυμαστών του - οι Πυθαγόρειοι - οι οποίοι ζούσαν και μελετούσαν σύμφωνα με τα διδάγματα του, πυρήνας των οποίων υπήρξε μια κοσμολογία βασισμένη σε ένα συνδυασμό γεωμετρικών σχημάτων και αριθμών στους οποίους απέδιδε μεταφυσικές ιδιότητες. Σε αυτή την κοσμολογική χρήση σχημάτων και αριθμών οικοδομήθηκε η εικόνα του Πυθαγόρα ως μαθηματικού κυρίως από τον ιστοριογράφο Διογένη το Λαέρτιο, ο οποίος στο έργο του «Βίοι και γνώμαι» αρχαίων φιλοσόφων (3^ος αιώνας μ.Χ.) αναφέρει ότι «ο Απολλόδωρος ο λογιστικός λέει ότι εκείνος (ο Πυθαγόρας) θυσίασε εκατό βόδια όταν ανακάλυψε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών που περιέχουν την ορθή γωνία». Δηλαδή, το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Είναι η πρώτη αναφορά που αποδίδει στον Πυθαγόρα αυτό το θεώρημα, εννιακόσια χρόνια μετά την εποχή του. Ακολουθούν οι  νεωπλατωνικοί φιλόσοφοι Πορφύριος(3^ος αιώνας μ.Χ.),  ο οποίος επαναλαμβάνει τον Λαέρτιο και ο Πρόκλος (5^ος αιώνας μ. Χ.), ο οποίος στα «Σχόλια στο 1^ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη», γενικεύει αναφέροντας ότι ο Πυθαγόρας ασχολήθηκε με τη γεωμετρία και μάλιστα κυρίως σε επίπεδο θεωρίας, ανεξάρτητα από πρακτικές της εφαρμογές. Έπονται ύστεροι συγγραφείς, που καθένας τους αναπαράγει και πλουτίζει μυθοπλαστικά τον προηγούμενο. Όμως, ιστορικοί των μαθηματικών της εποχής μας, παλαιότεροι όπως ενδεικτικά οι διάσημοι  Νόιγκεμπάουερ (Neugebauer, Οι θετικές επιστήμες στην Αρχαιότητα, 1957) και Βαν ντερ Βάρντεν (van der Waerden, Η αφύπνιση της επιστήμης, 1956) και νεώτεροι, όπως οι Φίλιπς (Philip, Pythagoras and early Pythagoreanism, 1966), Μπούρκερτ (Burkert, Lore and science in ancient Pythagoreanism, 1972), Ζαμπό (Szabo, Απαρχαί των ελληνικών μαθηματικών,1978) και άλλοι αμφισβητούν τις μαθηματικές δραστηριότητες του Πυθαγόρα, όπως αυτές εννοούνται στη σύγχρονη εποχή, θεωρώντας ως αναξιόπιστες τις διαθέσιμες πηγές.  

Το «Πυθαγόρειο» θεώρημα αναφέρεται στη σχέση των πλευρών κάθε ορθογωνίου  τριγώνου και παράλληλα σε τριάδες θετικών ακεραίων αριθμών α,β,γ, οι οποίοι πληρούν τη σχέση α²+β²=γ² με ποιο χαρακτηριστικό παράδειγμα τους αριθμούς 3,4,5. Στην αριθμητική εκδοχή του, το θεώρημα αυτό εντοπίζεται σε πήλινες πινακίδες της Μεσοποταμίας (πινακίδες YBC 7289, Plimpton 322) και παπύρους της Αιγύπτου (πάπυρος Βερολίνου 6619) , οι οποίοι χρονολογούνται γύρω στον 20^ο αιώνα π.Χ. και στη γεωμετρική μορφή του σε Κινέζικα κείμενα του 12^ου αιώνα π.Χ. (Μαθηματική πραγματεία για τον γνώμονα). Επίσης σε Ινδικά έργα προγενέστερα (8^ος αιώνας π. Χ.) και σύγχρονα του Πυθαγόρα, περιλαμβάνονται τριάδες «Πυθαγόρειων» αριθμών, διατυπώσεις του «Πυθαγορείου» θεωρήματος, αριθμητικές αποδείξεις  του καθώς και μια γεωμετρική απόδειξη στην ειδική περίπτωση του ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου  (Apastamba Sulba Sutra, περίπου 6^ος αιώνας π.Χ.). Γύρω στον 4^ο αιώνα π.Χ. ο Πλάτωνας διατύπωσε, σύμφωνα με τον Πρόκλο, μια μέθοδο εύρεσης «Πυθαγόρειων» τριάδων αριθμών, η οποία συνδύαζε αριθμητική και γεωμετρία, ενώ έναν αιώνα αργότερα στη περίφημη πρόταση 47 του 1^ου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη παρατίθεται μια απόδειξη του «Πυθαγορείου» θεωρήματος στο πλαίσιο μιας αξιωματικά οργανωμένης γεωμετρίας. Έκτοτε έχουν διατυπωθεί εκατοντάδες διαφορετικές αποδείξεις του «Πυθαγορείου» θεωρήματος, με τη χρήση μεθόδων αλγεβρικών, γεωμετρικών ή και διαφορικού λογισμού, καθιστώντας το ένα από τα πιο διάσημα θεωρήματα των μαθηματικών.     

Κάποιοι ιστορικοί των μαθηματικών, όμως, και μεταξύ αυτών Τόμας Χηθ (Heath, Ιστορία των Eλληνικών μαθηματικών,1921), ερμηνεύοντας διαφορετικά τα ιστορικά τεκμήρια, υποστηρίζουν ότι ναι μεν ο Πυθαγόρας δεν διατύπωσε το θεώρημα του ορθογωνίου τριγώνου, γνωστό ήδη εμπειρικά στους Βαβυλώνιους και Αιγύπτιους από τους οποίους το έμαθε, αλλά το απέδειξε με λογική επιχειρηματολογία. Παραθέτει, μάλιστα, τρεις υποθετικές αποδείξεις, μια από τις οποίες θα μπορούσε να είχε διατυπώσει ο Πυθαγόρας τον 6^ο αιώνα π.Χ.. Την άποψη αυτή αντικρούουν ιστορικοί των μαθηματικών υποστηρίζοντας ότι την εποχή του Πυθαγόρα τα μαθηματικά είχαν εμπειρικό χαρακτήρα και ότι η παραγωγική λογική των αποδείξεων υιοθετείται στα μαθηματικά κάτω από την επιρροή των μεθόδων επιχειρηματολογίας της Ελεατικής φιλοσοφικής σχολής (480-440 π.Χ περίπου), έναν αιώνα αργότερα.

Ποια μπορεί να ήταν, επομένως, η συμβολή του Πυθαγόρα στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Σύμφωνα με τα διαθέσιμα ιστορικά τεκμήρια δεν μπορεί να υπάρξει απάντηση στο ερώτημα αυτό. Δεν υπάρχουν ιστορικά αξιόπιστα, στοιχεία ότι ο Πυθαγόρας διατύπωσε ή απέδειξε το θεώρημα που του αποδίδεται, ανακάλυψε και απέκρυψε την ύπαρξη άρρητων αριθμών, ότι  ανάπτυξε μια θεωρία αριθμών με μαθηματικούς όρους, ότι οργάνωσε έναν πίνακα πολλαπλασιασμών ου και σήμερα αποκαλείται   στα σχολικά βιβλία «Πυθαγόρειος πίνακας», ότι τεκμηρίωσε αριθμητικά τις μουσικές αρμονίες, κ.α. Όμως, οπαδοί και θαυμαστές του απέδωσαν στον Πυθαγόρα πλήθος φιλοσοφικών αποφθεγμάτων, επιστημονικών επιτευγμάτων, πολιτικών κατορθωμάτων, ακόμα και θαυμάτων, συνθέτοντας και αναπαράγοντας μύθους, οι οποίοι  με το πέρασμα των αιώνων αντικατέστησαν τα ιστορικά γεγονότα, όπως άλλωστε συμβαίνει συνήθως με μύστες, προφήτες και αγίους.